האוניברסיטה הפתוחה

תיאורי הקורסים

20224 חשבון אינפיניטסימלי 3

20224 חשבון אינפיניטסימלי 3‏1

6 נקודות זכות ברמה רגילה

שיוך: מדעים / מתמטיקה

ידע קודם דרוש: הקורסים חשבון אינפיניטסימלי 1, חשבון אינפיניטסימלי 2 אלגברה לינארית 1.

פיתוח הקורס: ד"ר שוני גלבוע (‏כתיבה‎)‏, יהודית גוגנהיימר (‏עריכה‎)‏, רונית בורלא (‏איורים‎)‏.

יועצים: ד"ר עופר הדס, פרופ' לב בוחובסקי, פרופ' שי גירון, פרופ' אלי לוין, פרופ' איתן סייג, פרופ' בועז קלרטג.

הקורס עוסק בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מרובות משתנים, בגישה גיאומטרית.

נושאי הלימוד

פרק 1: מושגי יסוד בגיאומטריה של מרחבים אוקלידיים, ובפרט: תת־מרחבים אפיניים, פונקציות אפיניות, קבוצות קמורות, מרחק בין נקודות, העתקות חפיפה, שיעורים קוטביים ושיעורים ספיריים, המכפלה הווקטורית; פונקציות מרובות משתנים – מונחי יסוד.

פרק 2: מושגי יסוד בטופולוגיה של מרחבים אוקלידיים; קומפקטיות, הלמה של היינה-בורל; גבולות ורציפות של פונקציות מרובות משתנים; מסילות, קשירוּת, משטחים ויריעות.

פרק 3: גזירוּת של פונקציות מרובות משתנים; נגזרות כיווניות ונגזרות חלקיות של פונקציות סקלריות והקשרים לגזירוּת; כלל השרשרת; קמירות וקעירות של פונקציות מרובות משתנים.

פרק 4: אינטגרל התלוי בפרמטר, כלל לייבניץ לגזירה מתחת לסימן האינטגרל.

פרק 5: נגזרות כיווניות וחלקיות מסדר שני, תנאים לשוויון נגזרות מעורבות; פונקציות גזירות פעמיים, אפיון קמירות וקעירות של פונקציות גזירה פעמיים; קריאת רשות: גזירות מסדר גבוה, פולינום טיילור.

פרק 6: משפט ויירשטראס על אודות קיום נקודות קיצון, איתור נקודות קיצון מקומי ונקודות קיצון של פונקציות גזירות, איתור נקודות קיצון מקומי של פונקציות גזירות פעמיים; מרחק בין קבוצות.

פרק 7: משפט הפונקציה ההופכית; משפט ההגדרה הסתומה; יריעות חלקות, מרחבים משיקים; כופלי לגרנז'.

פרק 8: אורך מסילה, השתנות חסומה; אינטגרל מסילתי של פונקציה סקלרית לפי אורך מסילה; אינטגרל מסילתי של תבנית דיפרנציאלית ממעלה ראשונה, תנאים לאי־תלות במסילה, הלמה של פואנקרה, פשטוּת קשר.

פרק 9: אינטגרל מרובה, מבחן לבג לאינטגרביליות, משפט פוביני, החלפת משתנים באינטגרל מרובה, נוסחת פפוס-גולדין לנפח גוף סיבוב; אינטגרל מרובה מוכלל; משפט גרין.

פרק 10: אינטגרל לפי אלמנט נפח של פונקציה סקלרית ביריעה, נוסחת פפוס-גולדין לשטח משטח סיבוב, נוסחת coarea; נורמל יחידה רציף למשטח־על חלק, אוריינטביליות של משטח־על חלק ושל יריעה חלקה, אינטגרל של תבנית דיפרנציאלית במשטח־על חלק אוריינטבילי, משפט קלווין-סטוקס ומשפט הדיברגנץ; קריאת רשות: אינטגרל של תבנית דיפרנציאלית ביריעה־עם־שפה חלקה אוריינטבילית, משפט סטוקס.


1 להשלכות על צבירת נ"ז בשל חפיפה עם קורס(‏ים‎)‏ אחר(‏ים‎)‏, ראו פירוט החפיפה.